これまで，FEM解析などによって応力拡大係数が求められてきましたが，困難なのはき裂付近で高い解析精度が求められることです。特に，板厚 t に対するき裂深さ a の比 a/t は 0.8 程度以下とされるのが普通でした。これはつぎの2つの理由によるものと考えられます。

• a/t が 0.8 にほぼ達するとき裂背面からの開口が生じ，き裂が貫通するとの経験則が知られている(参考文献 e)
• a/t が 0.8 以上では細かいメッシュが必要となって，FEM解析が現実的に不可能

最初の経験則については，実際には貫通条件は応力状態により異なるので，より深いき裂の解析が望まれます。

以下の解析はこれまでの解析ではまず不可能だったものです。つぎのアウトラインに沿って述べます。

1. 応力拡大係数
2. 解析対象モデル
3. き裂形状と応力拡大係数評価点
4. き裂サイズとメッシュ
5. 境界条件
6. 応力解析
7. 応力拡大係数の計算
8. 参考文献

1. 応力拡大係数.

一般に，き裂を持つ構造物に外力が作用すると，き裂のまわりには応力の特異性――大きな応力集中が生じます。その結果，構造物は材料の降伏応力や引張強さよりずっと小さな応力で破壊することがあり，き裂のまわりの力学的状態を評価することは大変重要です。

材料が線形弾性挙動を示す場合には，き裂のまわりの力学的状態を表すパラメータとして応力拡大係数が取られます。材料力学では応力を力学的パラメータとして取りますが，線形破壊力学 (linear elastic fracture mechanics) では応力拡大係数を出発点として構造物の破壊挙動を調べます。

つぎの図のようにき裂のまわりの局所座標系を取ります。この図のy軸に平行に，上下面に引張り荷重がかかるとき裂はさらに開口するように変位します。これをモード I (開口型) の変形モードと呼びます。モード I のほか，面内せん断型のモード II，面外せん断型のモード III もありますが，ここでは代表例としてモード I だけについて述べます。

この局座標系に関して，応力σ_ij はつぎのように書けます。

ここで，f_ijn はθに関する既知の関数，K_I，c₂，c₃，・・・は定数です。き裂先端の付近 (すなわち r 〜 0) では左辺の第1項が支配的なので，第2項以降を無視することにします。

すなわち，き裂付近では応力は 1/√r の特異性を持ちます。K_I を応力拡大係数 (stress intensity factor) と呼びます。

き裂を持つ長い配管を解析対象とします。き裂は円筒周方向内面の半楕円表面未貫通き裂とします。き裂の対称的な配置を考え，つぎの図の通り，円筒の 1/4 モデルとします。円筒は，板厚 t = 20.0mm，板厚tと内半径Rの比を R/t = 12.7 とします。円筒高さ h = 200mm としますが，これは有限要素モデル作成のために想定するもので，解析結果には影響しません (影響しないように十分大きく取ります)。き裂深さを a，き裂半長を c とします。

き裂形状は矩形領域における半楕円 (の半分) から配管断面へ写像します。応力拡大係数評価点は矩形領域における半楕円上の，中心角を 8 等分割した 9 点を配管き裂前縁上に写像します。

4. き裂サイズとメッシュ.

き裂サイズとしてはつぎのようなものを想定します。この表のうち，a/t が 0.8 以下の各パラメータは，ハンドブック (文献の a) の 9.36 Internal and External Surface Cracks in Cylindrical Vessels にあるものです。

メッシュは 4 面体 2 次要素とします。き裂は周方向に長く伸びており，予備解析に基づいてき裂前縁は 400 分割します。この結果，この表の通り，メッシュは非常に大規模になり，自由度数は 1100 万に達します。

き裂の前縁上に節点をもつ要素には，Barsoum の特異要素(参考文献 c, d) を用います。

a/t	a/c	節点数	要素数
0.2	0.025	3,751,445	2,774,304
0.4	0.05	3,874,493	2,867,202
0.6	0.075	3,780,345	2,796,854
0.8	0.1	3,645,958	2,695,875
0.95	0.12	3,308,836	2,443,735

(クリックするとフルサイズの図が表示されます)

5. 境界条件.

荷重境界条件として，円筒天頂面で一定に分布する z 方向面荷重 10MPa を加えます。

6. 応力解析.

解析は ADVENTURECluster によって，11 台の Pentium III によるクラスタで行い，それぞれほぼ 8 時間の計算時間を要しました。き裂付近の相当応力分布を以下に示します。

(クリックするとフルサイズの図が表示されます)

7. 応力拡大係数の計算.

応力拡大係数は変位外挿法参考文献 f によって，き裂表面を含む配管内部では平面ひずみを，配管表面では平面応力を仮定して行ないます。

結果をつぎに示します。横軸はき裂前縁に取った 9 点 にわたる楕円の中心角 2φ/πです。縦軸の応力拡大係数は無次元化した

で表してあります (σは外荷重，Q は第 2 種の完全楕円積分の 2 乗の近似式)。ハンドブックには 2φ/π= 1 の値だけが載っており，これをグラフに重ねます。ここでは本解析の結果とほぼ一致しています。

このようにき裂前縁の全域にわたり応力拡大係数を，しかもき裂深さ 0.95 まで求めたものは今まではありませんでした。これは大規模解析なくしては不可能なものです。

1. Masabumi SUZUKI, Hiroshi AKIBA, Shinobu YOSHIMURA, Genki YAGAWA, Analysis of Stress Intensity Factor of Piping using Large-Scale Analysis code ADVENTURECluster, Transactions of SMiRT16 (2001.8).
2. The Society of Materials Science, STRESS INTENSITY FACTORS HANDBOOK， PERGAMON PRESS, 1987
   
3. R. S. Barsoum, Application of Quadratic Isoparametric Finite Elements in Linear Fracture Mechanics, International Journal of Fracture, 10(1974), 603-605.
4. R. S. Barsoum, Further Application of Quadratic Isoparametric Finite Elements to Linear Fracture Mechanics of Plate Bending and General Shells, International Journal of Fracture, 11(1975), 167-169.
5. 吉村忍，矢川元基，秋葉博，藤岡照高， 確率論的破壊力学に基づく軽水炉配管のLBB 成立性評価， 日本原子力学会誌，39(1997)，777-787.
6. 吉村忍，李準晟，矢川元基, 三次元き裂の応力拡大係数解析の自動化， 日本機械学会論文集(A編)，61(587)(1995), 128-134．

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